《复数》知识点及练习—精品文档

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　《 复数 》知识点及练习

　 一．基本知识

　【1 1 】复数的基本概念

　（1 1 ）形如 a

　+ b i 的数叫做复数（其中 R b a  ， ）；
复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 1 i2  . 其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0 时复数 a +

　b i 为实数 虚数：当 0  b 时的复数 a

　+ b i 为虚数；

纯虚数：当 a = 0 且 0  b 时的复数 a

　+

　b i 为纯虚数 （2 2 ）

　两个复数相等的定义：

　0 0             b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地 ， ， ， ， （其中， 且 （3 3 ）共轭复数：

　z a bi   的共轭记作 z a bi   ；

　（4 4 ）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；

z a bi   ，对应点坐标为   , p a b ；
（象限的复习）

　（5 5 ）复数的模：对于复数 z a bi   ，把2 2z a b   叫做复数 z 的模；

【2 2 】复数的基本 运算

　设1 1 1z a bi   ，2 2 2z a b i  

　（1 1 ）

　加法：

　   1 2 1 2 1 2z z a a b b i      ；

（2 2 ）

　减法：

　   1 2 1 2 1 2z z a a b b i      ；

（3 3 ）

　乘法：

　   1 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z aa bb a b ab i     

　 特别2 2z z a b    。

　（4 4 ）幂运算：1i i 21 i  3i i  41 i 5i i 61 i    

　 【3 3 】复数的化简

　c diza bi（ , a b 是均不为 0 的实数）；
的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：   2 2ac bd ad bc ic di c di a biza bi a bi a bi a b           对于   0c diz a ba bi  ，当c da b 时 z 为实数；
当 z 为纯虚数是 z 可设为c diz xia bi 进一步建立方程求解

　 二． 例题分析 【例 1 1 】已知   1 4 z a b i     ，求 （1 1 ）

　当 , a b 为何值时 z 为实数 （2 2 ）

　当 , a b 为何值时 z 为纯虚数 （3 3 ）

　当 , a b 为何值时 z 为虚数 （4 4 ）

　当 , a b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

　 【例 2 2 】已知13 4 z i   ；

   23 4 z a b i     ，求当 , a b 为何值时1 2= z z

　【例 3 3 】已知 1 z i   ，求 z ， z z  ；

　【例 4 4 】已知12 z i   ，23 2 z i   

　（1 1 ）

　求1 2z z  的值；

（2 2 ）

　求1 2z z  的值；

（3 3 ）

　求1 2z z  .

　 【例 5 5 】（2 2012 年全国卷

　新课标）下面是关于复数21zi 的四个命题：其中的真命题为（

　）

　1 :2 p z 22 :2 p z i 3 :p z 的共轭复数为 1 i 4 :p z 的虚部为 1 

　 ( ) A2 3, p p

　( ) B

　1 2, p p

　 ( ) C

　, p p 

　 () D , p p 

　 【例 6 6 】若复数  31 2a iz a Ri （i 为虚数单位）， （1）

　若 z 为实数，求 a 的值

　（2 2 ）

　当 z 为纯虚，求 a 的值.

　【例 7 7 】复数 cos3 sin3 z i   对应的点位于第几 象限

　【例 8 8】

　】

　（2 2012 年天津）复数73izi=

　 （

　 ）

　（A）

　2 i 

　 （Ｂ）

　2 i 

　（Ｃ）

　2 i  

　（Ｄ）

　2 i  

　 例题答案

　【答案 1】(1)b=4

　（2）a=-1，b≠4 （3）b≠4 （4）a<-1,b>4

　【答案 2 2 】

　a=6,b=8

　【答案 3】

　z =1+i

　z z =2

　 【答案 4】(1) -1+i

　 (2)-4+7i

　(3)√65 【答案 5】

　c

　 【答案 6】（1）a=-3／2

　 （2）a=6 【答案 7】二 【答案 8】b

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